De normale verdeling

Een normale verdeling is een klokvormige verdeling waarbij de meeste waarnemingen dicht bij het gemiddelde liggen en er steeds minder voorkomen naarmate je verder van het gemiddelde af gaat. Je beschrijft hem met twee getallen: het gemiddelde μ en de standaardafwijking σ.

De vuistregels

Bij elke normale verdeling geldt ongeveer:

• 68% van de waarnemingen ligt tussen μ − σ en μ + σ;
• 95% ligt tussen μ − 2σ en μ + 2σ;
• de verdeling is symmetrisch: links en rechts van het gemiddelde ligt elk 50%.

Daaruit volgt bijvoorbeeld dat 16% onder μ − σ ligt: (100% − 68%) / 2 = 16%. En 2,5% ligt boven μ + 2σ: (100% − 95%) / 2 = 2,5%.

Voorbeeld 1: met de vuistregels

De hoeveelheid sap in een sinaasappel is normaal verdeeld met μ = 120 ml en σ = 15 ml. Hoeveel procent van de sinaasappels bevat minder dan 105 ml?

• 105 = 120 − 15, dus 105 ml ligt precies één standaardafwijking onder het gemiddelde.
• Tussen 105 en 135 ml ligt 68%. Buiten dat gebied ligt 32%, aan elke kant de helft.
• Antwoord: ongeveer 16% bevat minder dan 105 ml.

Voorbeeld 2: met de rekenmachine

Dezelfde sinaasappels. Hoeveel procent bevat tussen de 110 en 140 ml? Dat valt niet op de vuistregels, dus je gebruikt de normale-verdelingsfunctie van je rekenmachine (normalcdf op de TI, NormCD op de Casio).

• Linkergrens 110, rechtergrens 140, μ = 120, σ = 15.
• normalcdf(110, 140, 120, 15) ≈ 0,656
• Antwoord: ongeveer 65,6%.

Wil je weten hoeveel procent minder dan 110 ml bevat, dan neem je als linkergrens een heel klein getal, bijvoorbeeld −10⁹⁹: normalcdf(−10⁹⁹, 110, 120, 15) ≈ 0,252.

Veelgemaakte fouten

• Gemiddelde en standaardafwijking in de verkeerde volgorde invullen op de rekenmachine.
• De vuistregels gebruiken voor grenzen die niet precies op μ ± σ of μ ± 2σ liggen. Dan moet je de rekenmachine gebruiken.
• Een kans (0,252) als antwoord geven waar om een percentage (25,2%) wordt gevraagd, of andersom.

Handige tips

• Maak altijd een schets van de klokvorm, zet μ in het midden en arceer het gebied dat gevraagd wordt. Dan zie je meteen welke grenzen je nodig hebt.
• Controleer je antwoord met de symmetrie: ligt de grens onder het gemiddelde, dan moet het percentage eronder kleiner zijn dan 50%.

Oefen dit onderwerp direct

Klaar om het zelf te proberen? Hieronder oefen je meteen met dit onderwerp:

Wil je meer oefenen? Ga naar de leeromgeving. Kom je er niet uit? Bij bijles wiskunde leggen onze docenten het rustig met je door. Zie ook: procenten berekenen.

Bekijk ook de uitleg van docent Menno: