De top van een parabool y = ax2 + bx + c vind je met xtop = −b / (2a), en de snijpunten met de x-as vind je door ax2 + bx + c = 0 op te lossen. Het snijpunt met de y-as is nog eenvoudiger: dat is altijd (0, c). Hieronder zie je hoe je dat stap voor stap aanpakt.
Parabool, top en snijpunten
Een formule geeft een parabool als de hoogste macht van x een kwadraat is: y = ax2 + bx + c met a ≠ 0. Is a = 0, dan houd je y = bx + c over, en dat is een rechte lijn.
Vorm: is a positief, dan is het een dalparabool met een laagste punt. Is a negatief, dan is het een bergparabool met een hoogste punt.
Top: bereken xtop = −b / (2a) en vul die x in de formule in voor ytop.
Snijpunten met de x-as: los ax2 + bx + c = 0 op, door te ontbinden in factoren of met de abc-formule. De discriminant D = b2 − 4ac vertelt vooraf hoeveel snijpunten er zijn: D > 0 geeft er twee, D = 0 één (de top raakt de x-as) en D < 0 geen.
Snijpunt met de y-as: vul x = 0 in, dan krijg je y = c.
Voorbeeld 1: y = −2x2 + 8x + 10
a = −2, b = 8, c = 10. Omdat a negatief is, is dit een bergparabool.
xtop = −8 / (2 × −2) = −8 / −4 = 2.
ytop = −2 × 22 + 8 × 2 + 10 = −8 + 16 + 10 = 18. De top is (2, 18), een maximum.
Snijpunten met de x-as: −2x2 + 8x + 10 = 0. Deel alles door −2: x2 − 4x − 5 = 0.
Ontbinden: (x − 5)(x + 1) = 0, dus x = 5 of x = −1. De snijpunten zijn (5, 0) en (−1, 0).
Snijpunt met de y-as: (0, 10).
Controle: de top ligt precies midden tussen de snijpunten, (5 + −1) / 2 = 2. Klopt.
Voorbeeld 2: y = x2 + 2x − 1
a = 1, b = 2, c = −1. Een dalparabool.
xtop = −2 / (2 × 1) = −1.
ytop = (−1)2 + 2 × −1 − 1 = 1 − 2 − 1 = −2. De top is (−1, −2), een minimum.
Snijpunten met de x-as: x2 + 2x − 1 = 0 is niet te ontbinden, dus gebruik de abc-formule.
D = 22 − 4 × 1 × −1 = 4 + 4 = 8. D is positief, dus er zijn twee snijpunten.
x = (−2 + √8) / 2 ≈ 0,41 of x = (−2 − √8) / 2 ≈ −2,41. De snijpunten zijn ongeveer (0,41; 0) en (−2,41; 0).
Snijpunt met de y-as: (0, −1).
Voorbeeld 3: snijpunten met een horizontale lijn
Waar snijdt y = x2 + 2x − 1 de lijn y = 2?
Stel de formules gelijk: x2 + 2x − 1 = 2.
Breng alles naar links: x2 + 2x − 3 = 0.
Ontbinden: (x + 3)(x − 1) = 0, dus x = −3 of x = 1.
De snijpunten zijn (−3, 2) en (1, 2).
Veelgemaakte fouten
Het minteken in −b vergeten. Bij b = 8 en a = −2 is xtop = −8 / −4 = 2, niet −2.
Alleen door 2 delen in plaats van door 2a. Dat gaat alleen goed als a = 1.
Tekenfouten in de discriminant. Met c = −1 is −4ac = −4 × 1 × −1 = +4.
Een kwadraat van een negatief getal verkeerd uitrekenen. (−1)2 = 1, maar −2 × 22 = −8: eerst kwadrateren, dan keer a.
Handige tips
Schrijf eerst a, b en c op, met hun tekens.
Bereken D voordat je verder rekent: bij D < 0 ben je meteen klaar, want er zijn geen snijpunten met de x-as.
Controleer je top met de snijpunten: xtop ligt altijd precies midden tussen de twee nulpunten.
Probeer eerst te ontbinden. Lukt dat niet snel, gebruik dan de abc-formule.
Even een korte break
Met meer dan 22 jaar aan ervaring, weten we hoe lastig het kan zijn om in je eentje dit onderwerp onder controle te krijgen, laat ons jou helpen door je te koppelen aan een bijlesdocent. Meer dan 50.000 leerlingen gingen je al voor!
Oefen dit onderwerp direct
Klaar om het zelf te proberen? Hieronder oefen je meteen met dit onderwerp:
Deze content is gebaseerd op de oefenstof die is gemaakt door studenten die zich in het netwerk bevinden van StudentsPlus. Deze studenten studeren aan de lerarenopleiding of zijn al afgestudeerd docent. Uiteraard is de oefenstof gecheckt door andere studenten en is er ook een check geweest op correct Nederlands.
