Formule van een raaklijn opstellen

Een raaklijn is een rechte lijn die de grafiek in één punt precies raakt. De formule y = ax + b van zo'n raaklijn vind je in drie stappen: bereken met de afgeleide de helling a in het raakpunt, bereken de y-waarde van het raakpunt, en vul dat punt in om b te vinden.

Het stappenplan

1. Afgeleide: bepaal f'(x).
2. Helling: vul de x van het raakpunt in de afgeleide in. Dat getal is de richtingscoëfficiënt a van de raaklijn.
3. Raakpunt: vul dezelfde x in de functie f(x) in. Zo krijg je de y-waarde van het raakpunt.
4. b berekenen: vul a, x en y in bij y = ax + b en los b op.

Voorbeeld 1

Gegeven is f(x) = x² − 3x + 1. Stel de formule op van de raaklijn in het punt met x = 4.

1. f'(x) = 2x − 3
2. a = f'(4) = 2 × 4 − 3 = 5
3. f(4) = 16 − 12 + 1 = 5, dus het raakpunt is (4, 5)
4. y = 5x + b door (4, 5): 5 = 5 × 4 + b, dus b = 5 − 20 = −15

De raaklijn is y = 5x − 15.

Voorbeeld 2

Gegeven is f(x) = 4/x + x². Stel de formule op van de raaklijn in het punt met x = 1/2.

1. Schrijf 4/x als 4x⁻¹. Dan is f'(x) = −4x⁻² + 2x = −4/x² + 2x
2. a = f'(1/2) = −4/(1/4) + 2 × 1/2 = −16 + 1 = −15
3. f(1/2) = 4/(1/2) + 1/4 = 8 + 1/4 = 33/4, dus het raakpunt is (1/2, 33/4)
4. 33/4 = −15 × 1/2 + b, dus b = 33/4 + 30/4 = 63/4 = 15,75

De raaklijn is y = −15x + 15,75.

Veelgemaakte fouten

• De x van het raakpunt in f(x) invullen om de helling te vinden. De helling komt uit de afgeleide f'(x), de y-waarde uit f(x).
• 4/x differentiëren alsof het 4x is. Schrijf het eerst als macht: 4x⁻¹.
• Bij het oplossen van b een minteken verliezen: −15 × 1/2 = −7,5, dus b = 8,25 + 7,5.

Handige tips

• Controleer je antwoord: vul de x van het raakpunt in je raaklijn in. Je moet dezelfde y krijgen als f(x).
• Op de grafische rekenmachine kun je met de optie dy/dx de helling in een punt controleren.

Oefen dit onderwerp direct

Klaar om het zelf te proberen? Hieronder oefen je meteen met dit onderwerp:

Wil je meer oefenen? Ga naar de leeromgeving. Kom je er niet uit? Bij bijles wiskunde leggen onze docenten het rustig met je door. Zie ook: hoe werkt differentiëren?. lineaire grafieken.

Bekijk ook de uitleg van docent Menno: